Vengeance !!!! [enigme]

Où sont les erreurs dans les quatre démonstrations de l’égalité 1 = 2 ci-dessous ?

Première preuve : partons de deux nombres A et B supposés égaux

A = B

Multiplions par A :

A² = AB

Retranchons B² :

A² - B² = AB - B²

Factorisons :

(A - B)(A + B) = B(A - B)

Simplifions :

A + B = B

Comme on a supposé A et B égaux, choisissons A = B = 1 :

1 + 1 = 1

D’où :

1 = 2

Deuxième preuve : partons de l’égalité suivante :

N² = N + N + … + N (N termes)

En dérivant, on obtient :

2N = 1 + 1 + … + 1 (N termes)

C’est-à-dire :

2N = N

Et en choisissant N = 1, on obtient :

1 = 2

Troisième preuve : partons de l’égalité suivante, valable pour tout entier n :

1 + 2 + 3 + … + n = n(n + 1)/2

En ne sommant que jusqu’à n - 1, cette égalité s’écrit :

1 + 2 + 3 + … + (n - 1) = (n - 1)n/2

En ajoutant 1 à chaque membre cette égalité :

1 + 2 + 3 + … + (n - 1) + 1 = (n - 1)n/2 + 1

C’est-à-dire :

1 + 2 + 3 + … + n = (n - 1)n/2 + 1

Et en combinant avec l’égalité initiale :

n(n + 1)/2 = (n - 1)n/2 + 1

Multiplions par 2 :

n(n + 1) = (n - 1)n + 2

Développons et réduisons :

n = -n + 2

2n = 2

n = 1

Tout entier n est égal à 1. En particulier (en choisissant n = 2) :

2 = 1

Quatrième preuve :

On voudrait prouver que :

1 = 2

Ou, ce qui revient au même :

2 = 1

En ajoutant membre à membre :

3 = 3

Puisque la dernière égalité est vraie, c’est que la première aussi l’est.

ptite maline !
:petitmdr:
nan, mais voilà quoi ! vous m'avez énervé !

Pis quoi ? tu doute de mes capacités a écrire une telle chose ?



T'as raison ! ^^

Voilà la réponse ( qui pour moi reste une énigme ^^ ) :
1) Première preuve.

Simplifier une égalité du type x * y = x * z en y = z, cela signifie que l’on divise les deux membres par x.

Cette opération n’est possible que si x est différent de 0.

Or, ici on simplifie par A - B qui vaut 0.

2) Deuxième preuve.

On dérive, par rapport à N, une somme qui comporte justement N termes. Cette opération n’est pas possible.

3) 1 + 2 + 3 + … + (n - 1) + 1 n’est pas égal 1 + 2 + 3 + … + n mais à 2 + 2 + 3 + … + (n - 1).

4) Ce raisonnement archi faux est pourtant souvent utilisé par les élèves (par exemple, en seconde, pour prouver que (x - 2)(x - 3) = x² - 5x + 6, certains élèves partent de l’égalité elle-même, arrivent par implications successives à 0 = 0 puis en déduisent que l’égalité de départ est bien vraie…). D’un point de vue de la logique, quelque chose de faux peut aussi bien entraîner le faux que le vrai… Autrement dit, si on déduit de A que B est vrai, on ne peut rien affirmer sur A…

OSSSSSSKKKOUUUURRRR !!!!!

les maths m'ont rattrapés


j'étais pourtant tranquilles ces dernieres années

lets a écrit:

Moi ce qui m'epate, c'est que je suis sure de ce que j'ai dis, et pourtant c'est pas ecrit dans la "correction"...

Heu... je voudrais pas déranger, mais A²-2AB+B² n'est pas égal à A²-B² mais à (A-B)²

Désolé

J'allais le dire !
:petitmdr:

Ben oui parce que si A²-2AB+B² = A²-B² :
alors -2AB+B²=-B²
donc 2B²=2AB
donc 2B=2A
et comme A=B, ben ça veut dire que 2 = 2, ce qui n'est évidemment pas possible puisque 1=2

Dis, tu es dans le métier ou quoi ?
Plus t'explique, moins je comprends ! déjà que j'ai pas compris le début ... t'imagines la suite !
:petitmdr:

bon let's tu as trouve quelqu'un pour t'aider a ton bac de math!!!!!!!!!comme quoi, ca sert a tout ce forum!!!

Bonne nuit Lets :petitmdr:

Bon, ok on reprend !

J'ai pris ta relation fausse : A²-2AB+B² = A²-B² et j'arrive à A = B

Ca veut donc dire que ta relation fausse n'est vraie que si A = B !

Et dans ce cas, ça devient A²-2B²+B² = A²-B²
donc A²-B² = A²-B²
donc 0 = 0 et on retombe sur nos pattes